[2016년 가좌고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x) =x^5 +3x^2 +1]에 대하여 [eqn: lim_h->0 {f(1+3h)-f(1)}overh]의 값은? [3.3점]

③

① [eqn: 11]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 55]

함수 [eqn: f(x) = sum_k=1^20 kx^k]에 대하여 [eqn: f(1)+f`'(1)]의 값은? [3.7점]

②

① [eqn: 3060]	② [eqn: 3080]	③ [eqn: 3095]

④ [eqn: 3100]	⑤ [eqn: 3110]

[eqn: lim_x->-1 {x^11 +x^10 +x+1}overx+1]의 값은? [3.3점]

③

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = lim_n->inf {ax^n+b +3x -1}over{x^n +1}```(x >0)]이
[eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: a+4b]의 값은? [4.1점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

그림과 같이 원기둥의 전개도에서 선분 [eqn: rmAB]는 두 원의 중심을 지나고 직사각형과 수직이며, 그 길이는 [eqn: 6]이다. 이 때, 원기둥의 부피의 최댓값은? [4.4점]

①

① [eqn: 2pi]	② [eqn: 4pi]	③ [eqn: 6pi]

④ [eqn: 8pi]	⑤ [eqn: 10pi]

[eqn: f(x) = x^3 +ax^2 + 3x+7]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.1점]

①

ㄱ. [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: (0,```7)]에서의
접선의 방정식은 [eqn: y=3x+7]이다.

ㄴ. [eqn: a=3]이면 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값을
갖는다.

ㄷ. [eqn: |a | le 4]이면 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체에서
증가하는 함수이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x) = -x^3 +5x^2 -2ax +3]이 열린구간 [eqn: (0,```2)]에서 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때, 상수 [eqn: a]의 값의 범위는? [4.1점]

⑤

① [eqn: - 10 over 3 < a<4]	② [eqn: - 10 over 3 <a< 25over6]	③ [eqn: 0<a<4]

④ [eqn: 0<a< 25over6]	⑤ [eqn: 4<a< 25over6]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^4 - 4over3 x^3 -4x^2 -k=0]이 한 중근과 서로 다른 두 개의 실근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은? [4.4점]

②

① [eqn: - 7over3]	② [eqn: - 5over3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 2]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 각각 [eqn: f(t)=t^3 -3t^2], [eqn: g(t)=5t^2 -at]일 때, 출발한 후 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]의 속도가 같아지는 순간이 두 번 있기 위한 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? [5.0점]

④

① [eqn: -1<a<19]	② [eqn: 0<a<19]	③ [eqn: -1<a< 64over3]

④ [eqn: 0<a< 64over3]	⑤ [eqn: 0<a<24]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f`'(x)=6x+2], [eqn: f(1)=4]을 만족할 때, [eqn: f(0)]의 값은? [3.3점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: int_1^x (x^2 -t^2 ) f(t) dt=x^4 +ax^2 +1]
이 성립할 때, [eqn: f(a)]의 값은? [3.7점]

①

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

정적분 [eqn: int_-1^1 (7a^3 x^3 +3a^2 x^2 +6x |x |-4a)dx]의 값이 최소가 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 [eqn: m], 그 때의 정적분의 값을 [eqn: n]이라고 할 때, [eqn: m+n]의 값은? [5.0점]

④

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -4]

[eqn: f(x)=x^2 +1]일 때, [eqn: lim_x->0 1overx int_a-x^a+x f(t)dt]의 값을 [eqn: a]에 대한 식으로 바르게 나타낸 것은? (단, [eqn: a]는 상수) [3.7점]

⑤

① [eqn: a^2]	② [eqn: a^2 +1]	③ [eqn: 2a^2]

④ [eqn: 2a^2 +1]	⑤ [eqn: 2a^2 +2]

[eqn: lim_n->inf sum_k=1^n left(5 + 2k over n right)^3 3over n]을 정적분으로 나타낸 것으로 옳지 않은 것은? [4.1점]

⑤

① [eqn: 3 int_0^1 (5+2x)^3 dx]	② [eqn: 3over2 int_0^2 (5+x)^3 dx]

③ [eqn: 3over2 int_7^9 (x-2)^3 dx]	④ [eqn: 3over2 int_5^7 x^3 dx]

⑤ [eqn: int_0^2 left(5+ 2over3 x right)^2 dx]

양수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=2a^2 x^3 +1], [eqn: y= - 2overa^2 x^3 +1]과 직선 [eqn: x=3]로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값을 [eqn: m], 그 때의 [eqn: a]값을 [eqn: n]이라고 할 때, [eqn: m+n]의 값은? [4.4점]

③

①[eqn: 80]	② [eqn: 81]	③ [eqn: 82]

④ [eqn: 83]	⑤ [eqn: 84]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: int_-1^0 f(x)dx + int_11^12 f(x)dx]의 값은? [5.0점]

①

(가) [eqn: y=f(x)]는 직선 [eqn: x=0]에 대하여 대칭이다.

(나) [eqn: int_n-1^n+1 f(x)dx = int_n^n+1 2x`dx] (단, [eqn: n]은 자연수)

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 각각 [eqn: {v_{rmP}}=3t^2 -2t-1], [eqn: v_{rmQ} =-3t^2]이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

①

ㄱ. 시각 [eqn: t=2]에서 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 2]이다.

ㄴ. 원점을 출발한 후 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다시 만날 때의
시각은 [eqn: t=1]이다.

ㄷ. [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는
[eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)=1], [eqn: f`'(1)=3]을 만족시킬 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 나머지를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: 3x-2]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: int_0^x f(t)dt = x^3 + 1over2 x^2 int_0^2 f(t)dt - x left{ int_0^2 f(t)dt right}^2]
을 만족할 때, [eqn: int_0^2 f(t)dt]의 값을 모두 더한 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 1 over { 2}]

함수 [eqn: f(x)=2x^2 -4x]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)= int_0^x+1 f(t)dt]
로 정의할 때, [eqn: g(x)]의 극솟값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: - {8} over {3}]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킨다. 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x) = d over dx int_1^x xf(t)dt`]라 하자. [8.0점]

(1) [eqn: g(x)= int _{1} ^{x} {} f(t)dt+xf(x)]이다.

[eqn: g(-x)= int _{1} ^{-x} {} f(t)dt-xf(-x)# ``````````````````````````= int _{1} ^{-1} {} f(t)dt+ int _{-1} ^{-x} {} f(t)dt+xf(x)# ``````````````````````````=0+ int _{1} ^{x} {} f(t)dt+xf(x)=g(x)]

(2) [eqn: g(-1)=g(1)]이다. 롤의 정리

(1) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(-x)=g(x)]를 만족함을 보이는

과정을 서술하시오. [5.0점]

(2) [eqn: g`'(c)=0]인 실수 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: (-1,```1)]에서 적어도

하나 존재함을 보이는 과정을 서술하시오. [3.0점]

[2016년 가좌고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com